Par les côtés opposés

Résultat mathématique. Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.

Étant donnés trois points A, B, C, le quatrième sommet D est construit comme l’intersection de la parallèle à AB passant par C et de la parallèle à BC passant par A.

| figure a b c d ab bc |
figure := DrGeoFigure nouveau.
a := (figure point: 1 @ 1) nommer: 'A'.
b := (figure point: 5 @ 2) nommer: 'B'.
c := (figure point: 6 @ 6) nommer: 'C'.
ab := figure segmentDe: a à: b.
bc := figure segmentDe: b à: c.
d := figure
  intersectionDe: (figure parallèleA: ab passantPar: c) cacher
  et: (figure parallèleA: bc passantPar: a) cacher.
d nommer: 'D'.
figure segmentDe: a à: d.
figure segmentDe: c à: d

Résultat mathématique. Les cotés opposés d’un parallélogramme sont isométriques et parallèles.

Figure 4.5: Côtés opposés du parallélogramme

C’est une propriété utilisée pour construire un parallélogramme au compas. Ici dans le code d’une figure programmée, nous utilisons des cercles dont les rayons sont les longueurs des côtés.

| figure o m n p mn pm cercle1 cercle2 |
figure := DrGeoFigure nouveau.
m := (figure point: -5 @ 2) nommer: 'M'.
n := (figure point: 3 @ 2) nommer: 'N'.
p := (figure point: 1 @ -5) nommer: 'P'.
mn := figure segmentDe: m à: n.
pm := figure segmentDe: p à: m.
cercle1 := figure cercleCentre: p segment: mn.
cercle1 tiret.
cercle2 := figure cercleCentre: n segment: pm.
cercle2 tiret.
o := figure intersectionDe: cercle1 et: cercle2.
o nommer: 'O'.
figure segmentDe: o à: n.
figure segmentDe: o à: p

Une fois le code exécutée, dans la figure attraper et déplacer les points M, N ou P et observer la figure pour bien la comprendre.

Figure 4.6: Parallélogramme et cercles

Par les diagonales

Résultat mathématique. Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. Ce milieu est donc un centre de symétrie.

Figure 4.7: Diagonales du parallélogramme

Pour un parallélogramme ABCD dont I est le milieu de ses diagonales alors le point D est le symétrique de B par rapport à I. Cela nous fournit un programme de construction de ABCD que nous développons dans les deux exercices suivants.

L’Exercice 4.10 construit le point I, centre du parallélogramme. Pour construire le parallélogramme ABCD, le point D est construit comme symétrique de B par rapport à I avec le message symétriqueDe:selonCentre:.

Troisième sommet

Ainsi pour un losange ABCD, connaissant A et B, le point C est tel que BA=BC. Pour placer correctement un point C, nous construisons le cercle de centre B et rayon BA, puis nous plaçons sur ce cercle un point C.

Par les côtés opposés

Une fois que les points A, B et C sont placés tel que BA=BC, il suffit de reprendre le programme de construction pour un parallélogramme : étant donnés trois points A, B, C, le quatrième sommet D est construit comme l’intersection de la parallèle à AB passant par C et de la parallèle à BC passant par A.

Pour vérifier que le programme est valide, déplacer A, B et C afin d’observer ce qui se passe.

Par les diagonales

Résultat mathématique. Les diagonales d’un losange – en plus de se couper en leur milieu comme pour tout parallélogramme – sont perpendiculaires.

Lorsque les points A, B et C d’un losange ABCD sont placés sur la figure il est alors possible de construire le sommet D comme symétrique de B par rapport à I, milieu de AC.

Troisième sommet

Ainsi pour un rectangle ABCD, connaissant les points A et B, le point C est tel que la droite BA est perpendiculaire à la droite BC. Pour placer correctement un point C, nous donc construisons la droite passant par B et perpendiculaire à la droite AB, puis nous plaçons sur cette droite un point C.

Par les côtés opposés

Une fois les trois points A, B et C placés comme dans l’Exercice 4.15, il suffit de reprendre le programme de construction pour un parallélogramme : étant donnés trois points A, B, C, le quatrième sommet D est construit comme l’intersection de la parallèle à AB passant par C et de la parallèle à BC passant par A.

Par les diagonales

Résultat mathématique. Les diagonales d’un rectangle – en plus de se couper en leur milieu comme pour tout parallélogramme – sont isométriques.

Lorsque les points A, B et C d’un rectangle ABCD sont placés sur la figure il est alors possible de construire le sommet D comme symétrique de B par rapport à I, milieu de AC.

Autre approche. Puisque les diagonales du rectangle sont isométriques, nous commençons par la construction d’une diagonale, par exemple AC. La deuxième diagonale BD sera construite telle que BD=AC. Dans ce programme de construction nous utiliserons un cercle de diamètre AC.

Maintenant nous plaçons un point B où nous le souhaitons sur le cercle. La droite IB est construite puis le point D comme intersection entre la droite IB et le cercle.

Troisième sommet

Ainsi pour un carré ABCD, connaissant A et B, le point C est tel que BA=BC et la droite BA est perpendiculaire à la droite BC.

Pour placer correctement un point C, nous construisons :

1. la droite passant par B et perpendiculaire à la droite AB ;
2. le cercle de centre B et passant par A ;
3. le point C intersection de cette droite perpendiculaire avec ce cercle.

Par les côtés opposés

Une fois les points A, B et C placés, il suffit de reprendre un programme de construction pour un parallélogramme déjà répété plusieurs fois.

Par les diagonales

Résultat mathématique. Les diagonales d’un carré – en plus de se couper en leur milieu comme pour tout parallélogramme – sont isométriques et perpendiculaires.

Lorsque les points A, B et C d’un carré ABCD sont placés sur la figure il est alors possible de construire le sommet D comme symétrique de B par rapport à I, milieu de AC.