Dans le triangle, nous connaissons 4 droites remarquables : les médiatrices, les bissectrices, les hauteurs et les médianes.
Résultat mathématique. Dans un triangle, les trois médiatrices construites à partir des côtés du triangle se coupent un même point M. Les médiatrices sont dites concourantes en ce point M, c’est le point d’intersection des trois médiatrices.
Pour rappel, la médiatrice d’un segment est une droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.
Une figure Dr.Geo comprend les messages médiatriceDe: et
médiatriceDe:à: pour construire une médiatrice à partir d’un
segment ou de deux points – voir l’annexe des méthodes pour leur
utilisation.
Construire un triangle de sommets A(2;1), B(7;2) et C(4;7) puis les 3 médiatrices de chacun des 3 côtés AB, BC et AC. Nommer M le point d’intersection de ces médiatrices.
Exercice 4.32: Médiatrices du triangle
Résultat mathématique. Le point M, intersection des médiatrices, est le centre d’un cercle qui passe par les trois sommets A, B et C. C’est le cercle circonscrit du triangle ABC.
Compléter l’Exercice 4.32 en construisant le cercle circonscrit au triangle ABC.
Exercice 4.33: Cercle circonscrit d’un triangle
Résultat mathématique. Dans un triangle, les trois bissectrices des trois angles du triangle sont concourantes en un point O.
Pour rappel, la bissectrice d’un angle coupe celui-ci en deux angles isométriques.
Une figure Dr.Geo comprend les messages bissectriceDe: et
bissectriceSommet:côté1:côté2: pour construire une bissectrice
à partir d’un angle géométrique ou de trois points.
Construire un triangle de sommets A(2;1), B(7;2) et C(4;7) puis les 3 bissectrices de chacun des ses 3 angles. Nommer O le point d’intersection de ces bissectrices.
Exercice 4.34: Bissectrices du triangle
Résultat mathématique. Le point O est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC. Le rayon de ce cercle est la distance du point O à n’importe quel côté du triangle : la distance de O à AB, de O à BC et de O à AC est la même. Ainsi pour tracer ce cercle inscrit, il faut d’abord construire et mesurer une des distances de O à AB, BC ou AC.
Compléter l’Exercice 4.34 en construisant le cercle inscrit dans le triangle ABC. Le rayon du cercle sera d’abord construit comme la distance de O à un des côtés du triangle.
Exercice 4.35: Cercle inscrit d’un triangle*
Résultat mathématique. Dans un triangle, les trois hauteurs issues des trois sommets sont concourantes en un point H appelé orthocentre du triangle.
Pour rappel, une hauteur d’un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
Construire un triangle de sommets A(2;1), B(7;7) et C(4;5) puis les 3 hauteurs issues de chacun de ses 3 sommets. Nommer H le point d’intersection de ces hauteurs.
Exercice 4.36: Hauteurs du triangle
Résultat mathématique. Dans un triangle, les trois médianes issues des trois sommets sont concourante en un point G appelé centre de gravité du triangle.
Pour rappel, une médiane d’un triangle est une droite passant par un sommet et le milieu du côté opposé à ce sommet.
Construire un triangle de sommets A(2;1), B(7;7) et C(4;5) puis les 3 médianes issues de chacun de ses 3 sommets. Nommer G le point d’intersection de ces médianes.
Exercice 4.37: Médianes du triangle